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最近好久没有更新,实在是有点小忙。因为这是在学校的最后一个暑假,光是写论文就蛮耗脑子的,每每想写点什么的时候,总是提不起劲来。

今天早上吃鸡蛋的时候,想到了一个问题,觉得还蛮有意思的,就说说吧。话说,我早上煮鸡蛋吃,共拿了4个鸡蛋,两个是上个星期买的(旧),两个是昨天买的(新)。鸡蛋烧好后,从外观上是无法分辨哪个是旧的,哪个是新的。那么,在我吃第二个鸡蛋的时候,我就想说,这个鸡蛋是旧的的概率是多少。

这个问题其实很简单,答案肯定是1/2。我们从一开始的开始看:

  1. 吃第一个鸡蛋,吃的是旧的的概率必然是

  2. 吃第二个鸡蛋,吃的是旧的概率是

  3. 吃第三个鸡蛋,吃的是旧的的概率是

  4. 吃第四个鸡蛋,吃的是旧的的概率是0.5。

发现,所有的值都是0.5。也就是说,无论是吃了几(1-3)个鸡蛋,下一个鸡蛋是旧的的概率依旧是0.5。其实,这个很容易理解,以吃第二个鸡蛋为例,我不知道第一个鸡蛋吃的是旧的还是新的。所以,我在吃第二个鸡蛋的时候,实际上还是从或新或旧两个等可能性的选项中选择,所以是0.5。

又或者,你比较熟悉概率论,那么这个更容易说,这其实就是等概率无放回的独立重复试验,同样以吃第二个鸡蛋为例,由于不知道第一次取出的鸡蛋是新的还是旧的,那就没有先验信息,没有先验信息,那么概率不变,依旧是0.5。

说到这,不由得想起来抓阄。现在来看的话,一场公平的抓阄,需要保证的不是谁先谁后去抓,而是要保证,后面抓的人不知道前面抓的人手中的阄是什么。也就是要保证每一个人都没有了解先验信息,那么,每个人抓到目标的可能性就是相同的。

好吧,我承认好久没有看概率论了,说起概率论的术语有点儿怪怪的。说到如何公平地抓阄,让我想起在概率论里面有一个很出名的经典问题,三门问题,也就是蒙提霍尔悖论:

大致的意思是:有三个关着的门,其中一扇门后面是一辆汽车,另外两扇门后各是一只山羊,选中后面有车的那扇门就可以获得那辆汽车。当参赛的人选定了一扇门,但未去开启它的时候,主持人会开启剩下两扇门中的其中一扇,露出一只山羊。然后,主持人会问参赛者要不要换另一扇仍然关着的门。问题就是,换门能不能增加参赛者获得汽车的可能性。

这个问题是一个很违反直觉的经典问题,最关键的地方就在于,按照题意,其实主持人是知道哪一扇门后面是汽车的,也就是说,主持人会提供给你一定的信息。具体来说,如果你选中了后面是山羊的一扇门,那么主持人在剩下的两扇门中,只能选中那扇后面是山羊的门,而不能选中后面是汽车的那扇门;如果你选中了后面是车的那扇门,那么主持人可以随便选一扇。

那么如何求解呢?其实也很简单,在解决这类问题的时候,最关键的是抓住随机事件之间的关系,这里就是需要了解两个随机事件:不换门赢得汽车以及换门赢得汽车两个随机事件。搞清楚这两个事件之间的关系,那么这个问题就很容易解决了,这里不再赘述。有需要的话,可以自行Google,这类讨论网上有很多。